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英才学习-阿江1年前 (2023-06-26)794

初中数学:苏教版九年级上册圆的知识点

一、圆

1.圆:在平面内把线段op绕着端点o旋转1周,端点p运动所形成的的图形叫做圆。
   圆心:点o叫做圆心;
   半径:线段op叫做半径。

圆.jpg

2.点与圆的位置关系:

如果圆o的半径为r,点p到圆心o的距离为d,那么:

点p在圆内,则d

点p在圆上,则d=r;

点p在圆外,则d>r。

点与圆的位置关系.jpg

3.弦:连接圆上任意两点的线段。

   直径:经过圆心的弦。

   弧:圆上任意两点间的部分,用符号“⌒”表示。

4.优弧:大于半圆的弧。

   劣弧:小于半圆的弧。

5.圆心角:顶点在圆心的角。

初中几何:圆心角、圆周角、圆切角、弦切角,可以点击后面链接查看:https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202306/2876.html


6.同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆。

   等圆:能够互相重合的两个圆。

   等弧:能够互相重合的弧。

7.同圆或等圆的半径相等。


二、圆的对称性

1.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心

2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等

3.在同圆或等圆中,如果两个同心角、两条弧、两条弦有一组量相等,那么它们所对应的其他各组量都分别相等

4.同心角的度数与它所对的弧的度数相等。

5.圆是轴对称图形过圆心的任意一条直线都是它的对称轴

6.垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。


三、确定圆的条件

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.三角形的三个顶点确定一个圆。这个圆叫做三角形的外接圆。这个三角形叫做圆的内接三角形

三角形重心、外心、内心、垂心、旁心性质及交于一点证明,可以点击后面链接查看:


3.外接圆的圆心叫做三角形的外心


四、圆周角

1.顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

初中几何:圆心角、圆周角、圆切角、弦切角,可以点击后面链接查看:https://www.yc8.com.cn/wenzhang/202306/2876.html


2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半同弧或等弧所对的圆周角相等

3.直径所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径

4.一个四边形的4个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆

5.圆内接四边形的对角互补



上述知识通过下图汇总掌握

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1.圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

【看图理解】如图,观察∠b、∠p和∠aoc即可得出∠b=∠p=1/2∠aoc。

2.圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。

【看图理解】如图,观察∠b、∠p、∠aoc、弧ac、弦ac、弦心距os,即可得出上述结论。

备注:圆心角定理的4个结论中,只要知道其中的1个相等,即可推出其它的3个结论。

3.切线判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线。

【看图理解】如图,观察oc、ct即可得出上述结论。

4.切线性质定理:切线垂直于过切点的半径。

【看图理解】如图,观察tc、co即可得出上述结论。

5.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。

【看图理解】如图,观察tc、ta即可得出上述结论。

6.相交弦定理:圆内两条弦相交交点,分得的两条线段的乘积相等。

【看图理解】如图,观察△pae和△bce,由于∠p=∠b,∠pea=∠bec,∠pae=∠bce,所以△pae∽△bce,对应边成比例pe:be=ea:ec,交叉相乘即可得到pe·ec=be·ea。

7.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。

【看图理解】如图,观察切线fc和割线fa,以及△fcd和△fac,易证△fcd∽△fac,对应边成比例fc:fa=fd:fc,交叉相乘即可得到fc^2=fa·fd。

8.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

【看图理解】如图,假设过f点的另一条割线为fa′,那么同理有fc^2=fa′·fd′,又因为fc^2=fa·fd,所以fa′·fd′=fa·fd,即f点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

9.两圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直且平分这两个圆的公共弦。

【看图理解】如图,观察△oac、弦ac、弦心距os,易得os垂直平分ac,假设ac同时也是圆o′的弦,则o′s必然也垂直平分ac,因此oo′垂直平分ac,即两圆圆心的连线垂直且平分这两个圆的公共弦。

10.弦切角定理:顶点在圆上一边与圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

【看图理解】如图,观察切线ct、∠b、∠p和弦切角∠act即可得出∠b=∠p=∠act,即弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。


五、直线与圆的位置关系

1.相交、相切、相离

如果圆o的半径为r,圆心o到直线l的距离为d,那么:

直线l与圆相交,则d

直线l与圆相切,则d=r

直线l与圆相离,则d>r

直线与圆的位置关系.jpg

2.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

3.圆的切线垂直于经过切点的半径

4.与三角形各边都相切的圆叫做三角的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形

5.内切圆的圆心叫做三角形的内心

三角形重心、外心、内心、垂心、旁心性质及交于一点证明,可以点击后面链接查看:


6.在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长

7.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等

六、圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为r, r(r>r),圆心距为d,则

两圆外离等阶于d>r r;

两圆外切等阶于d=r r;

两圆相交等阶于r-r

两圆内切等阶于d=r-r;

两圆内含等阶于d

当d=0时,两圆是同心圆。

七、正多边形与圆

1.各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正n边形的作图。

3.圆内接多边形

圆内接正三角形中的比例关系:边长:r:r=2根号3:2:1;

圆内接正方形中的比例关系:边长:r:r=2根号2:根号2:1;

圆内接六边形中的比例关系:边长:r:r=1:1:根号3 /2。

八、弧长与扇形的面积

1.弧长:弧长l、圆心角度数n,则:l=n/360*2πr=nπr/180

2.扇形面积:s扇形、圆心角度数n,则:s扇形=n/360*πr2

3.根据以上公式可得弧长与扇形面积关系:s扇形=1/2*lr


九、圆锥的侧面积

1.圆锥的母线长l,圆锥的底面圆半径r,则圆锥的侧面积:1/2*2πr*l=πrl

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