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英才学习-阿江5个月前 (05-27)函数446

高中数学:抽象函数求单调性问题


一般来说,对于函数的单调性的证明方法,应该使用定义法和导数法,但是导数法是有缺陷的,因为它往往需要依托解析式才可以证明,故针对抽象函数的单调性的证明方法,就只能使用定义法了。

比如需要证明增函数,常常令 x12,然后想办法证明 f(x1)−f(x2)<0;

注意涉及抽象函数的单调性的变形技巧;

典例剖析

1.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 1】

定义在 r上的函数 f(x)满足 f(x y)=f(x) f(y)−1,且 x>0 时,f(x)<1,判定函数单调性。

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注意变形:f(x2)=f[(x2−x1) x1]=f(x2−x1) f(x1)−1


2.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 2】

已知定义在 (0,+∞)上的函数 f(x),满足 f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时,f(x)<0,判断函数 f(x)的单调性。

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注意变形:f(x2)=f[(x2/x1)⋅x1]=f(x2/x1) f(x1)



3.【定义法】【抽象函数的单调性 - 变形 3】

已知函数 f(x)的定义域为 r,对任意实数 m,n 都满足 f(m n)=f(m) f(n) 1/2,且 f(1/2)=0,当 x>1/2时,f(x)>0;

(1)求 f(1);

(2)判断函数 f(x)的单调性,并证明。


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解后反思:为了利用条件 x>1/2 时,f(x)>0,故变形 f(x2−x1)=f[(x2−x1 1/2) (−1/2)]


4.【定义法】

函数 f(x)对任意的 m,n∈r,都有 f(m n)=f(m) f(n)−1,并且 x>0,恒有 f(x)>1。

(1)求证:f(x)在 r上是增函数;

(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2 a−5)<2。


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5.【定义法】

已知函数 f(x)的定义域为 (0, ∞),且对任意的正实数 x,y都有 f(xy)=f(x) f(y),并且当 x>1 时,恒有 f(x)>0,f(4)=1,

(1). 求证:f(1)=0;

(2). 求 f(1/16);

(3). 解不等式 f(x) f(x−3)⩽1 .


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f(x2/x1⋅x1)=f(x2/x1) f(x1)是已知公式的正用,
f(x) f(x−3)=f[x⋅(x−3)] 是已知公式的逆用。 


6.【定义法】

已知函数 f(x)在 r上的图像是连续不断的一条曲线,当 x>0 时, f(x)<2, 对任意的 x, y∈r, f(x) f(y)=f(x y) 2成立,若数列 {an}满足 a1=f(0), 且 f(an 1)=f(an/(an 3)),n∈n , 则 a2018的值为【】

a.2    b.6/(2×32017−1)   c.2/(2×32017−1)   d.2/(2×32016−1)


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7.【定义法】

已知函数f(x)对任意x,y∈r,总有f(x) f(y)=f(x y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2/3。

(1)求证:f(x)是r上的减函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

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8.【定义法】

定义在(0, ∞)上的函数f(x),满足f(xy)=f(x) f(y),且f(1/3)=1,当x>1时,f(x)<0

(1)求f(1);

(2)判断并证明f(x)的单调性;

(3)解关于x的不等式f(x) f(x-2)>-1。

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