高中数学：不等式 - 琴生不等式
琴生不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式，有了它，我们可以推导出其他一些著名不等式，比如幂平均不等式、杨格不等式（young inequality），赫尔德不等式（hölder inequality），闵可夫斯基不等式（minkowski inequality）。我们最常见的平均不等式（或叫均值不等式）也可以从它推出。
琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用。它实质上就是对凸函数性质的应用，它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系，能够很好的为高中数学压轴证明题服务。
一、定义公式
1.若f(x) 是区间[a,b] 上的下凸函数，则对任意的x1,x2,x3,...xn∈[a,b]，有不等式:
当且仅当x1=x2=x3=...=xn 时等号成立。
2.其加权形式为：
若f(x) 是区间[a,b] 上的下凸函数，则对任意的x1,x2,x3,...xn∈[a,b]且a1 a2 a3 ... an=1 ，
x1,x2,x3,...xn为正数，有
当且仅当x1=x2=x3=...=xn 时等号成立。
变相公式
其中：
前面两个取f(x)=xt就可以了
后面一个取f(x)=log(x)就可以了。
二、凸函数
1.凸函数定义
设 k 是 rn中的凸集，f:k→r¹ ，若对于任意的x,y ∈ k,λ ∈[0,1],有f(λx (1-λ)y) ≤λf(x) (1-λ)f(y)
则称f为k上的凸函数;若以上不等式中不等号是严格的，则称f为严格凸函数:若函数(一f)是凸函数，则称f是凹函数;若f既是凸函数又是凹函数，则称f为仿射函数。
2.几何意义
凸函数有明显的几何意义，以r中的凸函数为例，若f是凸函数，
则曲线y=f(x)上任意两点的连线必不在此两点的曲线段之下。
具体可以见下图：
3.凸函数性质
函数f(x)定义在开区间(a,b)上。设λ1和λ2是正实数，λ1 λ2=1。若对于开区间(a,b)上的任意两点x1和x2，都有：
f(λ1x1 λ2x2)≤λ1f(x1) λ2f(x2)
当且仅当x1=x2时等号成立
函数f(x)是定义在开区间(a,b)上的凸函数。设λ1, λ2, ··· , λn是n个正实数，λ1 λ2 ··· λn=1。x1, x2, ··· , xn 是开区间(a,b)上任意n个点，则下面不等式成立：
f(λ1x1 λ2x2 ... λnxn)≤λ1f(x1) λ2f(x2) ... λnf(xn)
当且仅当x1=x2=...=xn时等号成立
这个不等式称为琴生不等式。（注意，对于凹函数（上凸函数），上面(7)式中的“≤”变为“≥”，也是琴生不等式。
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